二项式定理与杨辉三角联系十分紧密。杨辉三角的第 n 行的第 m（设m从0开始数） 个数即 n 次二项式展开的第 m 个系数，因此杨辉三角某行某列上的数都可以通过二项式定理的系数来得知，计算n次二项式展开的系数又可以通过排列组合的公式来求。

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杨辉三角的第 n 行 第  m 列可以使用该公式求得，这里的 n 行、m 列对应着上方公式中的 n 和  m 。等式最右边的分子为 n 的阶乘，一定包含分母中的 (n - m)! ，两者相消，得到的结果分子为 n * (n - 1) * (n - 2) * (n - 3) * ...... * (n - m + 1)，分母为 m！。

同时还有，0！= 0，所以杨辉三角的第零行，就是什么都没有。。。

#include// 计算分母 返回一个数的阶乘
double findFactorial(double num){
	double result = 1;
	for( ; num >1 ; num--){
		result *= num;
	}
	return result;
}

// 计算分子 start * ( start - 1 ) * ( start - 2 )~~~~(start - end + 1)
double calculate(double start, double num){
	double result = 1;					// 保存结果
	double tempstart = start;
	for(; start >tempstart - num ; start--){
		result *= start;
	}
	return result;
}

// 打印出杨辉三角		默认从第一层开始 ‘1’、‘1 1’、‘1 2 1’....
void printYangHui(double n){
	if(n == 0){					// 如果要第零层则打印空
		return;
	}
	for(double i = 0 ; i< n ; i++){
		for(double j = 0 ; j<= i ; j++){
			printf("%0.lf  ",calculate(i, j) / findFactorial(j));
		}
		printf("\n");
	}
}

int main(){
	printf("请输入杨辉三角的层数：");
	int n = 0;
	scanf("%d",&n);
	printf("result:\n\n");
	printYangHui(n);
	
}

对比利用数组来输出杨辉三角，这种方法不需要开辟数组，节省了一定的空间，但是计算较多，也存在重复计算的问题：杨辉三角是两侧对称的，即两侧的数据有重复的，这里的计算重复了。

利用递归改进一下，对称输出，就不用重复计算之前已经计算过的值了：

// 利用递归进行对称打印  新增的
void printSymmetry(int i, int j){
	double temp = calculate(i, j) / findFactorial(j);
	printf("%0.lf  ", temp);                // 三角的左边输出
	if(j< i / 2){
		printSymmetry(i, j + 1);
	}
	if(2 * j != i){                        // 判断情况，三角的右边输出
		printf("%0.lf  ",temp);		
	}
}

// 打印出杨辉三角		默认从第一层开始 ‘1’、‘1 1’、‘1 2 1’....
void printYangHui(double n){
	if(n == 0){					// 如果要第零层则打印空
		return;
	}
	for(double i = 0 ; i< n ; i++){		// C00 = 1 即第一行为1
		printSymmetry(i, 0);                // 在这里调用上面的递归函数
		printf("\n");
	}
}

不过这里面，还是有很多重复的计算，比如阶乘的计算就重复计算了很多次。

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本文题目：利用排列组合公式Cnm输出杨辉三角（C语言实现）-创新互联
转载来于：http://scgulin.cn/article/dssigi.html